Prof. Robert
Análise combinatória
Probabilidades
Estatística
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Assistam ao vídeos abaixo postados sobre análise combinatória. Entendam a s aulas. Levem suas dúvidas para a sala de aula para conversar com o Professor Marco Fernando.
Análise combinatória - Questão do ENEM
Análise combinatória vídeo 1 e vídeo 2
Análise combinatória - Anagrama
Questões dobre probabilidades - ENEM
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
Introdução a estatística
Introdução a estatística 2
Estatística
Estatística
Análise combinatória
1. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
2. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?
a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12
3. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:
a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040
4. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242
5. (UEFS) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:
a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720
6. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:
a) 83b) 84
c) 85
d) 168
e) 169
7. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:
a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128
8. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?
a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80
9. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:
a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56
10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 122
1. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas
para realizar quatro trabalhos distintos em umcondomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única
empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas
maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
2. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em
dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa-
Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna,
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2,
a distribuição é a seguinte:
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura
Brasileira, Língua Estrangeira
Moderna, Biologia e Matemática;
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física.
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas
provas objetivas, com quatro por dia, de
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
3. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um
certo número de membros, de acordo com o tamanho de
sua representação no Congresso Nacional. Faltam
apenas dois partidos para indicar seus membros. O
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros,
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número
de possibilidades diferentes para a composição dos
membros desses dois partidos nessa CPI.
a) 55
b) (40 - 3) . (15-1)
c) [40!/(37! . 3!)]. 15
d) 40 . 39 . 38 . 15
e) 40! . 37! . 15!
4. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas,
quer-se formar uma comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo,
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser
formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode
formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
5. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de
vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3
desses nutrientes para obter um composto químico. O
número de compostos que poderão ser preparados
usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:
a) 32
b) 28
c) 34
d) 26
e) 30
6. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em
parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste
em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e
que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma
trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada
um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada
banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu
responsável. De quantos modos podem as dez pessoas
ocupar os cinco bancos?
a) 14 400
b) 3 840
c) 1 680
d) 240
e) 120
7. (Pucmg 2003) Um bufê produz 6 tipos de
salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas
de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3
tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem
x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor
de x é:
a) 180
b) 360
c) 440
d) 720
8. (Uel 2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B =
{0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é:
a) 10
b) 15
c) 60
d) 120
e) 125
9. (Unesp 2003) O conselho administrativo de um
sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma
é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato
tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do
conselho, sendo que o presidente da diretoria e do
conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas
maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada?
a) 40.
b) 7920.
c) 10890.
d) 11!.
e) 12!.
10. (Fgv 2005) Um fundo de investimento disponibiliza
números inteiros de cotas aos interessados nessa
aplicação financeira. No primeiro dia de negociação
desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram
cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais
condições, o número de maneiras diferentes de alocação
das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a
a) 56.
b) 70.
c) 86.
d) 120.
e) 126.
Gabarito
1. C
2. E
3. C
4. D
5. C
6. B
7. D
8. C
9. C
10. B
Enem - Probabilidade
Questão 12 - versão amarela - exame de 2007
<><><><><><><><><><><>
Comentário:
Entre idosos e crianças, o total de pessoas com problemas respiratórios causados pelas queimadas é de 200 pessoas. A probabilidade é a razão entre o número de crianças (150) e o total. Assim, 150 : 200 = 0,75. Resposta D.
Só é preciso conhecer o conceito básico de probabilidade, além da interpretação da questão e da tabela, para responder à questão.
Questão 51 - versão amarela - exame de 2008
<><><><><><><><><><><>
Comentário:
Aqui não é necessário saber a fórmula da probabilidade. É importante identificar no texto a linguagem que faz referência aos conjuntos e à probabilidade da união de dois eventos, já que são utilizados os termos "ou" e "e". No entanto, é possível associar as informações do gráfico e as do enunciado, chegando à conclusão de que, se P e Q somam 52% no gráfico e a probabilidade mencionada no texto para esses dois conjuntos é de 40%, então sobram 125 da intersecção. Resposta A.
Nessa questão, observa-se como são presentes no Enem o raciocínio lógico e a interpretação, aplicados à resolução de questões contextualizadas.
Questão 138 - versão amarela - Matemática e suas tecnologias - 2º dia de provas - exame de 2009
<><><><><><><><><><><>
Comentário:
Novamente, é possível chegar à resposta a partir da interpretação do gráfico. Como o valor correspondente à porcentagem de pessoas com 60 anos ou mais de idade nos países desenvolvidos está entre 30% e 35%, pode-se fazer a aproximação para 32%. Assim, a probabilidade seria a razão 32/100 = 8/25. Resposta C.
Não há aqui grandes fórmulas ou conceitos, apenas a ideia de probabilidade como razão.
 |
Comentário:
Entre idosos e crianças, o total de pessoas com problemas respiratórios causados pelas queimadas é de 200 pessoas. A probabilidade é a razão entre o número de crianças (150) e o total. Assim, 150 : 200 = 0,75. Resposta D.
Só é preciso conhecer o conceito básico de probabilidade, além da interpretação da questão e da tabela, para responder à questão.
Questão 51 - versão amarela - exame de 2008
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Comentário:
Aqui não é necessário saber a fórmula da probabilidade. É importante identificar no texto a linguagem que faz referência aos conjuntos e à probabilidade da união de dois eventos, já que são utilizados os termos "ou" e "e". No entanto, é possível associar as informações do gráfico e as do enunciado, chegando à conclusão de que, se P e Q somam 52% no gráfico e a probabilidade mencionada no texto para esses dois conjuntos é de 40%, então sobram 125 da intersecção. Resposta A.
Nessa questão, observa-se como são presentes no Enem o raciocínio lógico e a interpretação, aplicados à resolução de questões contextualizadas.
Questão 138 - versão amarela - Matemática e suas tecnologias - 2º dia de provas - exame de 2009
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Comentário:
Novamente, é possível chegar à resposta a partir da interpretação do gráfico. Como o valor correspondente à porcentagem de pessoas com 60 anos ou mais de idade nos países desenvolvidos está entre 30% e 35%, pode-se fazer a aproximação para 32%. Assim, a probabilidade seria a razão 32/100 = 8/25. Resposta C.
Não há aqui grandes fórmulas ou conceitos, apenas a ideia de probabilidade como razão.
*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.
Questões sobre estatística
Introdução à Estatística
6. Se Pedro obteve notas iguais a 79 e 88 nos dois primeiros testes de certa matéria, que nota ele deve obter no terceiro teste para ficar com média igual a 85?
7. Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5.
8. A média das notas dos alunos de um professor é igual a 5,5. Ele observou que 60% dos alunos obtiveram nota de 5,5 a 10 e que a média das notas desse grupo de alunos foi 6,5. Neste caso, considerando o grupo de alunos que tiveram notas inferiores a 5,5, a média de suas notas foi de:
9. A tabela abaixo apresenta a oferta da lata do leite em pó do tipo I, em dois supermercados, A e B.
10. Em 20 postos de combustíveis de uma cidade, foi realizada uma pesquisa para avaliar o impacto da redução do preço da gasolina comum, anunciada pelo governo, observando-se a seguinte distribuição de freqüência:
1) Ao determinar a média dos seguintes dados
obteve-se o valor da média aritmética = _________
E se em vez de _______ o valor correto fosse 13.5, o valor da média seria =________.
Exercícios sobre probabilidades e estatísticas
Probabilidade e Estatística
1) (UFJF-03) Uma prova de certo concurso contém 5 questões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em cada questão, o candidato deve escolher uma das três alternativas como resposta. Certo candidato que participa desse concurso decidiu fazer essas escolhas aleatoriamente. A probabilidade, desse candidato, escolher todas as respostas corretas nessa prova é igual a:
Questões sobre estatística
Introdução à Estatística
1. Os dados publicados na revista Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100 pessoas com o Ensino Médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm Ensino Médio, qual é o número provável de pessoas do grupo, com Ensino Médio, que, de acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego?
2. O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol, foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida na primeira rodada?
3. Considere a série estatística:
PERÍODOS | ALUNOS MATRICULADOS | % |
1º 2º 3º 4º | 546 328 280 120 | |
Total | 1.274 |
Complete-a, determinando as porcentagens com uma casa decimal e fazendo a compensação, se necessário.
4. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
NOTAS | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Nº DE ALUNOS | 1 3 6 10 13 8 5 3 1 |
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
5. Calcule a média aritmética, mediana e a moda da distribuição de freqüência abaixo
ESTATURAS (cm) | fi |
150 ι— 158 158 ι— 166 166 ι— 174 174 ι— 182 182 ι— 190 | 5 12 18 27 8 |
∑ = 70 |
6. Se Pedro obteve notas iguais a 79 e 88 nos dois primeiros testes de certa matéria, que nota ele deve obter no terceiro teste para ficar com média igual a 85?
A) | 85 |
B) | 87 |
C) | 88 |
D) | 95 |
7. Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5.
A) | 7,6 |
B) | 7,0 |
C) | 7,4 |
D) | 6,0 |
E) | 6,4 |
A) | 2,5 |
B) | 3 |
C) | 3,5 |
D) | 4 |
E) | 4,5 |
Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:
I. O preço de 100 g de leite no supermercado A é R$ 0,15 a mais que o preço da mesma quantidade no supermercado B.
II. Com R$ 28,80, é possível comprar 6 latas de leite, no supermercado B e, com o troco, uma lata de leite no supermercado A.
III. Comprando-se 4,8kg de leite no supermercado B, a economia, em relação à mesma compra realizada no supermercado A, é de R$ 7,20.
IV. Comprando-se 2,4 kg de leite no supermercado A, a economia, em relação à mesma compra efetuada no supermercado B, é de R$ 1,50.
São corretas apenas:
A) | I, II e III |
B) | II, III e IV |
C) | I, II e IV |
D) | I, III e IV |
E) | I e II |
10. Em 20 postos de combustíveis de uma cidade, foi realizada uma pesquisa para avaliar o impacto da redução do preço da gasolina comum, anunciada pelo governo, observando-se a seguinte distribuição de freqüência:
Da análise da tabela, pode-se concluir que a média, a moda e a mediana da distribuição correspondem, respectivamente, a:
A) | 22,14; 2,30 e 2,25 |
B) | 62,14; 2,25 e 2,30 |
C) | 2,16; 2,30 e 2,10 |
D) | 2,16; 2,30 e 2,25 |
E) | 2,16; 2,10 e 2,25 |
11. Uma enquête com os 450 alunos de uma escola para saber os tipos de calçados mais usados apresentou o seguinte resultado:
• 48% dos alunos usavam sandália;
• 22% dos alunos usavam tênis;
• 30% dos alunos usavam sapato.
Esse resultado foi representado em um gráfico de setores:
O número de alunos que usava sandália ou tênis é:
A) | 315 |
B) | 135 |
C) | 99 |
D) | 216 |
E) | 450 |
1) Ao determinar a média dos seguintes dados
12.4 | 13.5 | 13.6 | 11.2 | 15.1 | 10.6 | 12.4 | 14.3 | 113.5 |
obteve-se o valor da média aritmética = _________
Embora todos os dados, menos um, estejam no intervalo [10.6, 15.1], o valor obtido para a média está "bem afastado" daquele intervalo! O que aconteceu é que a média é muito sensível a valores muito grandes ou muito pequenos. No caso do exemplo foi o valor _______ que inflacionou a média. Além disso, temos razões para pensar que pode ter havido um erro ao digitar esse valor, digitando um 1 a mais!
E se em vez de _______ o valor correto fosse 13.5, o valor da média seria =________.
2) Faça uma distribuição dos “pesos” (massas) dos atletas para o cálculo da Mediana e da Média Aritmética:
_______, _______, _______, _______
3) Os dados a seguir representam as massas, em quilogramas, dos atletas de uma equipe juvenil de natação:
46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42
Determine a média aritmética, a mediana e a moda dessa distribuição.
4) As velocidades máximas das cinco voltas dadas em um teste de Fórmula 1, em Km/h, foram: 190, 198, 196, 204 e 202. Nessas condições, determine:
a) A média das velocidades
b) A variância
c) O desvio padrão
5) Os tempos gastos por cinco operários para fazer um trabalho foram: 7 minutos, 11 minutos, 8 minutos, 14 minutos, 10 minutos.
Nessas condições:
a) Determine o tempo médio.
b) Determine a mediana desses dados.
c) Determine a variância e o desvio padrão.
6) Os valores de uma tabela são: 2;2;2;7;7;7;7;3;3;3;3;9;9;9;9
a) Determine a média dos valores;
b) Determine o somatório do produto dos valores pela média dos mesmos;
c) Determine o quociente entre a média dos valores e o somatório de suas respectivas freqüências;
d) Quanto vale a expressão em que temos como base a primeira resposta e como expoente negativo o valor correspondente à segunda resposta;
e) Ache a freqüência relativa e a freqüência absoluta dos valores.
7) Os dados publicados na revista Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100 pessoas com o Ensino Médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm Ensino Médio, qual é o número provável de pessoas do grupo, com Ensino Médio, que, de acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego?
8) Entre as previsões populacionais para o Brasil, a mais sensata parece ser a do Fundo das Nações Unidas. Essa instituição prevê que o país estacionará em torno de 400 milhões de habitantes, no fim do século XXI. (Trecho adaptado de reportagem da revista Veja, 27 de março de 1996.)
A mesma reportagem considera, ainda, que tal crescimento populacional garantiria ao Brasil uma densidade demográfica (razão entre o número de habitantes e a área do país), no fim do século XXI, igual à metade da densidade demográfica da França no ano de 1996.
Sabe-se que a área territorial do Brasil é, aproximadamente, 15,5 vezes a área da França. Pode-se concluir, de acordo com a reportagem, que a população da França, em 1996, em milhões de habitantes, era de, aproximadamente: .........
9) A tabela representa o gasto semanal com alimentação de um grupo de 10 famílias:
Número de famílias | 5 | 3 | 2 |
Gasto por família (em reais) | 126,00 | m | 342,00 |
Se o gasto semanal médio por família é de R$ 183,00, pode-se estimar que o valor de m é: ........
10) Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens?
11) Uma pesquisa mostrou que a uma semana das inscrições para os principais vestibulares, muitos candidatos ainda estavam indecisos em relação ao curso pretendido, como mostra a tabela abaixo.
FORMA DE DECISÃO SOBRE O CURSO | |
Respostas | (%) |
Já decidiu | 86,8 |
Pesquisando melhor sobre cursos | 4,9 |
Não sabe | 4,0 |
Decidirá na hora da inscrição | 1,3 |
Teste vocacional (aptidão) | 1,3 |
Pesquisando mercado de trabalho | 0,9 |
Decidirá em conjunto com os pais | 0,4 |
Guia do vestibulando | 0,4 |
O Popular. Goiânia, 15 set. 2003. p. 4 [Adaptado].
De acordo com os dados, qual que representa o número de candidatos que decidirão pelo curso por meio de teste vocacional, entre os indecisos?
Exercícios sobre probabilidades e estatísticas
Probabilidade e Estatística
1) (UFJF-03) Uma prova de certo concurso contém 5 questões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em cada questão, o candidato deve escolher uma das três alternativas como resposta. Certo candidato que participa desse concurso decidiu fazer essas escolhas aleatoriamente. A probabilidade, desse candidato, escolher todas as respostas corretas nessa prova é igual a:
A) 3/5
B) 1/3
C) 1/15
D) 1/125
E) 1/243
2) (UFJF-03) Um soldado do esquadrão anti-bombas tenta desativar certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2 fios específicos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar um fio errado ou na ordem errada, o artefato explodirá. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato não explodir ao cortá-los é igual a:
A) 2/25
B) 1/20
C) 2/5
D) 1/10
E) 9/20
3) (PUC-03) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?
A) 1/10
B) 1/12
C) 5/24
D) 1/3
E) 2/9
4) (FGV-03) Um jogador aposta que, em três lançamentos de uma moeda honesta, obterá duas caras e uma coroa. A probabilidade de que ele ganhe a aposta é:
A) 1/3
B) 2/3
C) 1/8
D) 3/8
E) 5/8
5) A organização Mundial da Saúde – OMS – pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os dois não sejam parentes consangüíneos (parentes em primeiro grau), ao gerar uma criança, pode apresentar o seguinte quadro probabilístico em relação a problemas congênitos: sexo masculino tem 2% de risco e sexo feminino, 3%. A probabilidade de um casal gerar um menino com doença congênita ou uma menina sadia é, em %, expressa por:
A) 0,485
B) 2,5
C) 49,5
D) 97,5
E) 99
6) (UFV-04) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é:
A) 60%
B) 70%
C) 80%
D) 90%
E) 50%
7) (UFV-03) Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escolhendo-se três elementos distintos de
A)
B)
C)
D)
E)
8) Os números naturais de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da soma dos números sorteados é igual a:
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
e) 13
9) Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
A) 25%
B) 50%
C) 35%
D) 70%
E) 20%
10) Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
A) 1/3
B) 1/5
C) 2/5
D) 3/10
E) 7/10
11) Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?
A) 9/38
B) 1/2
C) 9/20
D) 1/4
E) 8/25
12) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:
A) 3/51
B) 5/53
C) 5/676
D) 1/13
E) 5/689
13) Três pessoas A, B e C vão participar de um concurso num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance" de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o concurso?
A) 12,5%
B) 25%
C) 50%
D) 75%
E) 95%
lista de exercícios
1. Os números naturais de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da soma dos números sorteados é igual a:
A) 9 B) 10 C) 11 x D) 12 E) 13
2. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
A) 25% x B) 50% C) 35% D) 70% E) 20%
3. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
A) 1/3 B) 1/5 C) 2/5 D) 3/10 x E) 7/10
4. Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?
A) 9/38 x B) 1/2 C) 9/20 D) 1/4 E) 8/25
5. Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:
A) 3/51 B) 5/53 C) 5/676 D) 1/13 x E) 5/689
6. Três pessoas A, B e C vão participar de um concurso num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance" de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o concurso?
A) 12,5% B) 25% x C) 50% D) 75% E) 95%
7. (UFJF) Uma prova de certo concurso contém 5 questões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em cada questão, o candidato deve escolher uma das três alternativas como resposta. Certo candidato que participa desse concurso decidiu fazer essas escolhas aleatoriamente. A probabilidade, desse candidato, escolher todas as respostas corretas nessa prova é igual a:
A) 3/5 B) 1/3 C) 1/15 D) 1/125 E) 1/243 x
8. (UFJF) Um soldado do esquadrão anti-bombas tenta desativar certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2 fios específicos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar um fio errado ou na ordem errada, o artefato explodirá. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato não explodir ao cortá-los é igual a:
A) 2/25 B) 1/20 x C) 2/5 D) 1/10 E) 9/20
9. (PUC) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?
A) 1/10 x B) 1/12 C) 5/24 D) 1/3 E) 2/9
10. (FGV) Um jogador aposta que, em três lançamentos de uma moeda honesta, obterá duas caras e uma coroa. A probabilidade de que ele ganhe a aposta é:
A) 1/3 B) 2/3 C) 1/8 D) 3/8 x E) 5/8
11. (UFV) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é:
A) 60% B) 70% C) 80% D) 90% E) 50%
12. (PUC) Considere uma família numerosa tal que:
• cada filho do sexo masculino tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos;
• cada filho do sexo feminino tem um número de irmãs igual ao de irmãos acrescido de 2 unidades;
Ao escolher-se ao acaso 2 filhos dessa família, a probabilidade de eles serem de sexos opostos é:
A) 4/13 B) 20/39 x C) 7/12 D) 11/13 E) 11/12
13. (FUVEST) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a, b, c, d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, no acaso,18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a?
A) 3/10 x B) 1/10 C) 3/20 D) 1/20 E) 1/30
14. (UFSCAR-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contatar os pais é:
A) 0,20 B) 0,48 C) 0,64 D) 0,86 E) 0,92
15. Numa caixa são colocados vários cartões, alguns amarelos, alguns verdes e os restantes pretos. Sabe-se que 50% dos cartões são pretos, e que, para cada três cartões verdes, há 5 cartões pretos. Retirando-se ao acaso um desses cartões, a probabilidade de que este seja amarelo é de:
A) 10% B) 15% C) 20% x D) 25% E) 40%
16. (UFSP) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor), sendo 10 azuis e dez brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam-se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Sejam p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Então:
A) p = q x B) p = 2/10 e q = 3/10 C) p = 3/10 e q = 2/10 D) p = 1/10 e q = 4/10 E) p = 4/10 e q = 1/10
17. (PUC) Serão sorteados 4 prêmios iguais entre os 20 melhores alunos de um colégio, dentre os quais estão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas um prêmio, a probabilidade de que Tales ou Euler façam parte do grupo sorteado é:
A) 3/95 B) 1/19 C) 3/19 D) 7/19 x E) 38/95
18. (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:
A) 0,06 B) 0,14 C) 0,24 D) 0,56 x E) 0,72
19. (FUVEST) Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepostos de tal modo que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhida dentre duas possíveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos sejam indistinguíveis é de:
A) 1/2 B) 3/4 C) 9/16 D) 5/16 x E) 15/32
20. (FGV-SP) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:
A) 18/65 B) 19/66 x C) 20/67 D) 21/68 E) 22/69
21. (FGV-SP) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km². Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja superfície tem área igual a 102 km²?
A) 2.10–9 B) 2.10–8 C) 2.10–7 D) 2.10–6 x E) 2.10–5
22. (PUC) De uma turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?
A) 1/10 x B) 1/12 C) 5/24 D) 1/3 E) 2/9
23. As cartas de um baralho são amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também? O baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe).
A) 1/17 x B) 1/25 C) 1/27 D) 1/36 E) 9/45
24. Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é:
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 x D) 1/6 E) 1/8
25. Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é:
A) 1/15 x B) 2/21 C) 1/12 D) 1/11 E) 1/9
26. Em um município, uma pesquisa revelou que 5% dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas, 52% são homens. Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só e seja mulher é igual a:
A) 0,530 B) 0,240 C) 0,053 D) 0,048 E) 0,024 x
27. Dois números inteiros são selecionados aleatoriamente de 1 a 9. Se a soma é par, a probabilidade de os números serem ímpares é:
A) 0,3 B) 2/5 C) 1/5 D) 0,32 E) 5/8 x
28. Seja o conjunto A = {1,2,3,4,5,6} . Escolhendo-se três elementos distintos de A , a probabilidade de que eles representem as medidas dos lados de um triângulo é:
A) 0,35 B) 0,45 C) 0,55 D) 0,65 E) 0,25
29. Inteiramente ao acaso, 14 alunos dividiram-se em 3 grupos de estudos. O primeiro, para estudar Matemática, o segundo, Física, e o terceiro, Química. Se em cada um dos grupos há pelo menos 4 alunos, a probabilidade de haver exatamente 5 alunos no grupo que estuda Matemática é de:
A) 1/3 x B) 2/3 C) 3/4 D) 5/6 E) 1
30. Para acessar o sistema de computadores da empresa, cada funcionário digita sua senha pessoal, formada por 4 letras distintas do nosso alfabeto (que possui 23 letras), numa ordem preestabelecida. Certa vez, um funcionário esqueceu a respectiva senha, lembrando apenas que ela começava com X e terminava com F. A probabilidade de ele ter acertado a senha ao acaso, numa única tentativa, é:
A) 1/326 B) 1/529 C) 1/253 D) 1/420
31. "Blocos Lógicos" é uma coleção de peças utilizada no ensino de Matemática. São 48 peças construídas combinando-se 3 cores (azul, vermelha e amarela), 4 formas (triangular, quadrada, retangular e circular), 2 tamanhos (grande e pequeno) e 2 espessuras (grossa e fina). Cada peça tem apenas uma cor, uma forma, um tamanho e uma espessura. Se uma criança pegar uma peça, aleatoriamente, a probabilidade dessa peça ser amarela e grande é:
A) 1/12 B) 1/6 x C) 1/3 D) 1/2
32. José, João, Manoel, Lúcia, Maria e Ana foram ao cinema e sentaram-se lado a lado, aleatoriamente, numa mesma fila. A probabilidade de José ficar entre Ana e Lúcia (ou Lúcia e Ana), lado a lado, é:
A) 1/2 B) 14/15 C) 1/30 D) 1/15 x
Mais exercícios
1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o espaço amostral do experimento.
2) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê uma espaço amostral para o experimento.
3) Três times A, B e C disputam um torneio de futebol. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Enumere os resultados do espaço amostral: resultados possíveis do torneio.
4) Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral correspondente.
5) Considerando dois eventos I e O de um mesmo espaço amostral S, expresse em termos de operações entre eventos:
5.1) A ocorre mas O não ocorre;
5.2) Exatamente um dos eventos ocorre;
5.3) Nenhum dos eventos ocorre.
6) Dois dados são lançados. Define-se os eventos: I = soma dos pontos obtidos igual a 9, e O = o ponto do primeiro dado é maior ou igual a 4. Determine os eventos I e O e ainda os eventos: I È O, I Ç O e Ī.
7) Uma urna contém 12 moedas de igual tamanho, sendo 7 douradas e 5 prateadas. O experimento consiste em retirar, sem reposição e ao acaso, duas moedas desta urna. Calcular a probabilidade de que saiam:
7.1) Uma moeda dourada e uma prateada, nesta ordem.
7.2) Uma moeda dourada e uma prateada.
7.3.) Duas moedas douradas.
7.4) Duas moedas de mesma cor.
8) Resolva o exercício sete considerando a retirada das moedas com reposição.
9) Sejam P(O) = 0,3, P(I) = 0,8 e P(O Ç I) = 0,15.
9.1) A e I são mutuamente exclusivos? Justifique.
9.2) Qual a P(Ī)?
9.3) Determine (a) P(O U I) (b) P(O Ç Ī) (c) P(Ō Ç Ī) (d) P(Ō Ç I)
10) Suponha que O e I sejam eventos tais que P(O) = x, P(I) = y e P(O Ç I) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de “x”, “y” e “z”.
10.1) P(O U I) 10.2) P(Ō) 10.3) P(Ī) 10.4) P(O / I) 10.5) P(Ō U Ī)
10.6) P(Ō U I) 10.7) P(Ō Ç I) 10.8) P(O Ç Ī) 10.9) P(Ō Ç Ī) 10.10) P(Ō / Ī)
11) Uma amostra de 140 investidores de um banco revelou que 80 investem em poupança, 30 investem no fundão e 10 investem na poupança e no fundão. Selecionado um destes investidores ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha investimentos na poupança ou no fundão?
12) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é 0,80, enquanto que a do aluno B é 0,60. Qual a probabilidade de que a questão seja resolvida se os dois alunos tentarem resolvê-la independentemente.
13) Um atirador A tem probabilidade de 1/4 de acertar um alvo. Já um atirador B tem probabilidade de 2/5 de acertar o mesmo alvo. Se ambos atirarem simultaneamente e independentemente, qual a probabilidade de que:
13.1) Ao menos um deles acerto o alvo e 13.2) Ambos acertem o alvo?
14) Sejam A e B dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade de ocorrência de ao menos um destes eventos é 0,52 e a probabilidade de A não ocorrer é 0,60. Calcule a probabilidade de B ocorrer?
15) Sejam: P(A) = 0,50; P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70.
15.1) A e B são eventos mutuamente excludentes? Por que?
15.2) Qual o valor de P(AÇB).
15.3) A e B são eventos independentes? Por que?
15.4) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A).
16) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 14 de Administração e 21 de Contábeis. Deseja-se eleger ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a probabilidade de que esta comissão seja formada por:
16.1) Alunos só da Economia.
16.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso.
16.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis.
16.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis.
17) Um produtor de parafusos verificou que em uma amostra de 100 parafusos 5 eram defeituosos. Numa segunda amostra de 200 parafusos ele encontrou 9 defeituosos. Você diria que a probabilidade de o próximo parafuso a ser produzido ter defeito é 0,05? Ou 0,045? Explique?
18) Se o jogo um da loteria esportiva for marcado na coluna dois, então é possível afirmar que a probabilidade de acertar este jogo é de 1/3? Por que?
19) Dois números são escolhidos ao acaso e sem reposição, dentre 6 números positivos e 8 negativos, e então multiplicados. Calcule a probabilidade de que o produto seja positivo.
20) Os lugares de 6 pessoas em uma mesa circular são determinados por sorteio. Qual a probabilidade de Aristeu e Fariseu se sentem lado a lado?
21) Suponha-se que são retiradas duas bolas, sem reposição, de uma caixa contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Determine:
21.1) Todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades.
21.2) Todos os resultados possíveis e suas probabilidades supondo a extração com reposição da primeira bola retirada.
22) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita?
23) Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo o ponto 4 é duas vezes mais provável do que o ponto dois). Calcular:
23.1) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.
23.2) A probabilidade de sair um número par, sabendo que saiu um número maior do que 3.
24) A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade de que:
24.1) Nenhum destes eventos ocorra. (24.2) Pelo menos um destes eventos ocorra
25) Calcular a P(A) sabendo que: P(AÇB) = 0, 72 e P(AÇ
26) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H: o freguês é homem A: O freguês prefere salada
M: O freguês é mulher B: O freguês prefere carne
Calcular:
26.1) P(H) 26.2) P(A/H) 26.3) P(B/M) 26.4) P(AÇH)
26.5) P(AÈH) 26.6) P(M/A)
27) Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:
Homens | Mulheres | |
Usaram o hospital | 100 | 150 |
Não usaram o hospital | 900 | 850 |
27.1) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
27.2) O uso do hospital independe do sexo do segurado?
28) As probabilidades de 3 motoristas serem capazes de dirigir até em casa com segurança, depois de beber, são: 1/3, 1/4 e 1/5. Se decidirem (erradamente) dirigir até em casa, depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os 3 motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de que ao menos um chegue em casa a salvo?
29) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com 6 lâmpadas boas. Se as lâmpadas forem sendo testadas, uma a uma, até encontrar as duas queimadas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?
30) Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um experimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas.
30.1) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para distinguir?
30.2) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa?
31) Dados que dois acontecimentos A e B ocorrem independentemente com probabilidades p e q respectivamente, determine a probabilidade da ocorrência de um e somente um destes acontecimentos.
32) Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando problemas com probabilidades de 0,95 e 0,90. Determinar a probabilidade de que dado um problema, este seja detectado por somente um dos aparelhos.
33) Sejam A e B dois eventos. Suponha que P(A) = 0,40, enquanto P(AÈB) = 0,70. Seja P(B) = p.
33.1) Para que valor de “p”, A e B serão mutuamente excludentes?
33.2) Para que valor de “p”, A e B serão independentes?
34) Um aparelho é escolhido ao acaso dentre 10 aparelhos, sendo que destes 6 funcionam sem falhas com uma probabilidade de 80% e os outros quatro funcionam sem falhas com uma probabilidade de 95%. Determinar a probabilidade de que o aparelho escolhido funcione sem falhas.
35) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 10%, 20% e 30% de defeituosos na sua produção. Se a três máquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos duas peças ao acaso da produção global qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?
36) Dentre 5 máquinas existem 3 de maior precisão que garantem um acerto de 95% e as duas restantes garantem um acerto de 75%. Escolhida uma máquina ao acaso qual a probabilidade de acerto?
37) Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta qualidade. A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma peça ao acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. Determinar a probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina.
38) Uma caixa contém quatro moedas, uma das quais com duas caras. Uma moeda foi tomada ao acaso e jogada duas vezes, obtendo-se duas caras. Qual a probabilidade de que seja a moeda com duas caras?
39) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com probabilidade 0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os fiscais é de 0,90 e de 0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito tenha sido examinado pelo segundo fiscal.
40) Um carro pode parar por defeito elétrico ou mecânico. Se há defeito elétrico o carro para na proporção de 1 para 5 e, se mecânico, 1 para 20. Em 10% das viagens há defeito elétrico e em 20% mecânico, não ocorrendo mais de um defeito na mesma viagem, igual ou de tipo diferente. Se o carro para, qual a probabilidade de ser por defeito elétrico?
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